روی یک خط، ۱۵ نقطه وجود دارد. می‌خواهیم بدانیم چه تعداد پاره‌خط می‌توان با اتصال این نقاط رسم کرد؟ 🧐
این مسئله یک مثال ساده از مبحث ترکیب در ریاضیات است. پاره‌خط، بخشی از یک خط است که بین دو نقطه قرار دارد. برای تشکیل یک پاره‌خط، به دو نقطه نیاز داریم. بنابراین، مسئله این است که از بین ۱۵ نقطه موجود، چند راه برای انتخاب ۲ نقطه وجود دارد؟ 🤔
برای حل این مسئله، می‌توانیم از فرمول ترکیب استفاده کنیم:
در این مسئله، n = ۱۵ (تعداد کل نقاط) و r = ۲ (تعداد نقاط مورد نیاز برای تشکیل یک پاره‌خط). بنابراین:
محاسبه فاکتوریل‌ها:
بنابراین:
بنابراین، می‌توان ۱٠۵ پاره‌خط با اتصال نقاط روی یک خط رسم کرد. 🎉
می‌توانیم این مسئله را با استدلال منطقی نیز حل کنیم. نقطه اول می‌تواند با ۱۴ نقطه دیگر متصل شود تا ۱۴ پاره‌خط تشکیل شود. نقطه دوم می‌تواند با ۱۳ نقطه باقی‌مانده (به جز نقطه اول که قبلاً استفاده شده) متصل شود تا ۱۳ پاره‌خط جدید تشکیل شود. این روند را ادامه می‌دهیم تا به نقطه چهاردهم برسیم که فقط می‌تواند با یک نقطه دیگر متصل شود.
بنابراین، تعداد کل پاره‌خط‌ها برابر است با:
این یک تصاعد حسابی با ۱٤ جمله است. برای محاسبه مجموع این تصاعد، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:
در اینجا، n = ۱۴ (تعداد جملات)، a1 = ۱۴ (جمله اول) و an = ۱ (جمله آخر). بنابراین:
همانطور که می‌بینید، با استفاده از استدلال منطقی نیز به همان نتیجه رسیدیم: می‌توان ۱٠۵ پاره‌خط رسم کرد. 🥳
در نظریه گراف‌ها، مسئله ما معادل یافتن تعداد یال‌های یک گراف کامل با ۱۵ راس است. یک گراف کامل (Complete Graph) گرافی است که هر راس آن به تمام رئوس دیگر متصل است. تعداد یال‌ها در یک گراف کامل با n راس برابر است با:
در این مسئله، n = ۱۵. بنابراین:
این روش نیز تأیید می‌کند که می‌توان ۱٠۵ پاره‌خط رسم کرد. 🤩